Question

半径为4m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮沿逆时针方向匀速旋转，每分钟转动6圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P₀）开始计算时间．
（1）将点P距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数；
（2）在水轮转动的一圈内，有多长时间点P距离水面超过4m？

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意求出ω值，然后结合t=0时z=0求出φ的值，则函数解析式可求；
（2）直接由4sin(

π

5

t-

π

6

)+2＞4求解三角不等式得到在水轮转动的一圈内，点P距离水面超过4m的时间．

解答： 解：（1）由题意可知，ω=

6×2π

60

=

π

5

，
设角φ（-

π

2

＜φ＜0）是以Ox为始边，OP₀为终边的角，
由条件得z=4sin(

π

5

t+φ)+2（-

π

2

＜φ＜0）．
将t=0，z=0代入，得4sinφ+2=0，
∴φ=-

π

6

．
∴z=4sin(

π

5

t-

π

6

)+2；
（2）由题意知，4sin(

π

5

t-

π

6

)+2＞4，
即sin(

π

5

t-

π

6

)＞

1

2

，
∴

π

5

t-

π

6

∈(2kπ+

π

6

，2kπ+

5π

6

)，k∈Z．
即t∈(10k+

5

3

，10k+5)，k∈Z．
∴5-

5

3

=

10

3

．
答：在水轮转动的一圈内，点P距离水面超过4m的时间为

10

3

秒．

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查了y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，关键是对题意的理解，是中档题．