Question

如图，河流航线AC段长40公里，工厂B位于码头C正北30公里处，原来工厂B所需原料需由码头A装船沿水路到码头C后，再改陆路运到工厂B，由于水运太长，运费太高，工厂B与航运局协商在AC段上另建一码头D，并由码头D到工厂B修一条新公路，原料改为按由A到D再到B的路线运输．设|AD|=x公里（0≤x≤40），每10吨货物总运费为y元，已知每10吨货物每公里运费，水路为l元，公路为2元．
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）要使运费最省，码头D应建在何处？

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）利用运费=路程×货物每公里运费，即可写出函数y关于x解析式；
（2）由（1）函数解析式，整理成关于x的一元二次方程，用判别式△≥0，求出y的最小值，求出对应的x的值即可．

解答： 解：（1）根据题意，得；
y=1•|AD|+2•|DB|
=x+2

(40-x)2+302

，0≤x≤40；
（2）由（1）得，y-x=2

(40-x)2+302

，
两边平方，整理得3x²-2（160-y）x+10000-y²=0；
由△=4（160-y）²-4×3（10000-y²）≥0，
解得y≥40+30

3

，或y≤40-30

3

（舍去），
此时x=

2[160-(40+30 3 )]

2×3

=40-10

3

∈[0，40]；
∴当x=40-10

3

时，y取得最小值．
∴码头D应建在离A点40-10

3

公里处．

点评：本题考查了函数的应用问题，解题时应列出函数的解析式，根据解析式求函数的最值，是中档题．