Question

已知函数f（x）=cos²x+2

3

sinxcosx-sin²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（

A

2

）=2，a=

3

，b=1，判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），利用正弦函数的性质可得f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）由f（

A

2

）=2sin（A+

π

6

）=2，可得A=

π

3

，利用正弦定理可求得B=

π

6

，C=

π

2

，从而可判断△ABC为直角三角形．

解答： 解：﹙Ⅰ﹚f（x）=cos²x+2

3

sinxcosx-sin²x=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），…（4分）
所以T=π…（5分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
得f（x）的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．…（7分）
﹙Ⅱ﹚由f（

A

2

）=2，有f（

A

2

）=2sin（A+

π

6

）=2，
所以 sin(A+

π

6

)=1…（8分）
因为0＜A＜π，得A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

…（10分）
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得sinB=

1

2

又b＜a，B＜A，
所以B=

π

6

，所以C=

π

2

…．…（12分）
∴△ABC为直角三角形．…（13分）

点评：本题考查三角恒等变换的应用及正弦定理，着重考查正弦函数的单调性与三角形形状的判定，属于中档题．