Question

在区间[-2，3]上随机地取一个数a，则函数f（x）=

1

3

x³-ax²+（a+2）x有极值的概率为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  3

• C、

  2

  5

• D、

  2

  3

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,几何概型

专题：导数的综合应用,概率与统计

分析：根据f（x）有极值，得到f'（x）=0有两个不同的根，求出a的范围，利用几何概型的概率公式即可的得到结论．

解答： 解：在区间[-2，3]上任取一个数a，
则-2≤a≤3，对应的区间长度为3-（-2）=5，
若f（x）=

1

3

x³-ax²+（a+2）x有极值，
则f'（x）=x²-2ax+（a+2）=0有两个不同的根，
即判别式△=4a²-4（a+2）＞0，
解得a＞2或a＜-1，
∴-2≤a＜-1或2＜a≤3，
则对应的区间长度为-1-（-2）+3-2=1+1=2，
∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=

2

5

，
故选：C．

点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a的取值范围是解决本题的关键．