Question

已知函数f（x）=（x-a）²e 

x

a

，其导函数y=f′（x）的图象经过点（-3，0），（3，0），如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的极大值点；
（Ⅱ）求a的值；
（Ⅲ）若m≥0，求f（x）在区间[m，m+1]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由导函数图象可知：f（x）在区间（-∞，-3）单调递增，在区间（-3，3）单调递减，可得f（x）的极大值点；
（Ⅱ）由f′（-3）=0得a=±3，当a=-3时，f′（-4）＜0与已知矛盾，即可求a的值；
（Ⅲ）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求f（x）在区间[m，m+1]上的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由导函数图象可知：f（x）在区间（-∞，-3）单调递增，在区间（-3，3）单调递减，
所以f（x）的极大值点为-3------------------（3分）
（Ⅱ）f′（x）=

1

a

(x2-a2)e

x

a

------------------（2分）
由f′（-3）=0得a=±3------------------（3分）
当a=-3时，f′（-4）＜0与已知矛盾，∴a=3------------------（5分）
（Ⅲ）∵f′（x）=

1

3

(x2-9)e

x

3

①当m+1≤3，即0≤m≤2时，f（x）在区间[m．m+1]上单调递减
∴f（x）_min=f（m+1）=(m-2)e

m+1

3

------------------（2分）
②当m＜3＜m+1，即2＜m＜3时，f（x）在区间[m.3]上单调递减，在区间[3，m+1]上单调递增，
∴f（x）_min=f（3）=0------------------（4分）
③当m≥3时，f（x）在区间[m．m+1]上单调递增，
∴f（x）_min=f（m）=(m-3)2e

m

3

------------------（6分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．