Question

已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，以极点O为坐标原点，极轴Ox为x轴建立直角坐标系，直线的参数方程是

x=- 3 5 t+2 y= 4 5 t

（为参数）．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为ρ²=2ρsinθ，又x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入即可得出；
（II）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y=-

4

3

(x-2)，可得M点的坐标为（2，0）．又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0，1），半径r=1，则|MC|=

5

．利用|MN|≤|MC|+r即可得出|MN|的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为ρ²=2ρsinθ，
又x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-2y=0．
（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y=-

4

3

(x-2)，
令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．
又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0，1），
半径r=1，则|MC|=

5

．
∴|MN|≤|MC|+r=

5

+1．即|MN|的最大值为

5

+1．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．