Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
（1）先判断函数y=f（x）的单调性再给出证明；
（2）证明函数y=f（x）是奇函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据抽象函数的表达式，结合函数单调性的定义即可判断函数y=f（x）的单调性；
（2）根据函数奇偶性的定义即可证明函数y=f（x）是奇函数．

解答： 证明：（1）设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，而f（a+b）=f（a）+f（b）
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＜0
∴函数y=f（x）是R上的减函数；
（2）由f（a+b）=f（a）+f（b）得f（x-x）=f（x）+f（-x），
即f（x）+f（-x）=f（0），而f（0）=0．
∴f（-x）=-f（x），
即函数y=f（x）是奇函数．

点评：本题主要考查函数单调性和奇偶性的判断和证明，利用抽象函数的对应关系以及定义法是解决本题的关键．