Question

如果函数f（x）对给定区间l上任意两个实数x₁，x₂都满足不等式f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

，则称函数f（x）在区间l上具有性质M．
（1）写出一个对数函数f（x），使得f（x）在（0，+∞）上具有性质M；（不需说明理由）
（2）（i）求证：函数f（x）=x²在区间[0，+∞）上具有性质M；
（ii）设x，y∈R^*，且x 

3

2

+y 

3

2

=a（a为正常数），试求x³+y³的最小值；
（3）已知函数f（x）=

x2+2x，x≥-2 x+2，x＜-2

，若实数a使得f（x）在区间[a，5]（a＜5）上具有性质M，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,分段函数的应用

专题：证明题,新定义,函数的性质及应用

分析：（1）举底数为（0，1）的对数函数；
（2）（ⅰ）运用新定义证明f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

，即可；
（ⅱ）运用f（x）=x²在区间[0，+∞）上具有性质M，将

x3+y3

2

=

x 3 2 ×2+y 3 2 ×2

2

，即可求出最小值；
（3）讨论：①当-2≤a≤5时，f（x）=x²+x，运用作差验证f（x）在区间[a，5]（a＜5）上具有性质M．
②当a＜-2时，f（x）在区间[a，5]（a＜5）上不具有性质M．

解答： （1）解：y=log_0.5x；
（2）（ⅰ）证明：设x₁，x₂∈[0，+∞），
∵（

x1+x2

2

）²-

1

2

（x₁²+x₂²）=-

1

4

（x₁-x₂）²≤0，
∴函数f（x）=x²在区间[0，+∞）上具有性质M；
（ⅱ）解：∵

x3+y3

2

=

x 3 2 ×2+y 3 2 ×2

2

≥（

x 3 2 +y 3 2

2

）²=

1

4

a²，
（当且仅当x=y时取等号）
∴x³+y³的最小值是

1

2

a²；
（3）解：①当-2≤a≤5时，f（x）=x²+x，在[a，5]内任取两个数x₁，x₂，
∵f（

x1+x2

2

）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=（

x1+x2

2

）²+

x1+x2

2

-

1

2

（x₁²+x₂²+2x₁+2x₂）
=-

1

4

（x₁-x₂）²≤0，
∴f（x）在区间[a，5]（a＜5）上具有性质M．
②下面说明当a＜-2时，f（x）在区间[a，5]（a＜5）上不具有性质M．
设t是2和-2-a中较小的数，令x₁=-2-t，x₂=-2+t，此时x₁，x₂∈[a，0]且f（x₁），f（x₂）的值均为负数，
∴f（x₁）+f（x₂）＜0，而f（

x1+x2

2

）=f（-2）=0，
∴当a＜-2时，f（x）在区间[a，5]（a＜5）上不具有性质M．
综上所述，实数a的取值范围是[-2，5]．

点评：本题考查新定义及运用，考查求最值，理解性质M是迅速解题的关键，本题属于中档题．