Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=2，C=60°．
（Ⅰ）若△ABC的面积等于

3

，求a和b；
（Ⅱ）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求A；
（Ⅲ）若ab=

5

3

，求△ABC的周长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（I）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，化为a²+b²-ab=4．由于△ABC的面积等于

3

，可得

1

2

absin60°=

3

，即ab=4，联立即可解得．
（II）由sinC+sin（B-A）=2sin2A，可得sin（A+B）+sin（B-A）=2sin2A，化为cosA=0或cosB=2sinA．当cosA=0，A=90°，当cosB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，代入a²+b²-ab=4，解得a，再利用正弦定理可得sinA=

asinC

c

=

1

2

，解得A，由a＜c，A只能是锐角．
（III）由a²+b²-ab=4．与ab=

5

3

，解得a+b=3，即可得出．

解答： 解：（I）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
∴4=a²+b²-2abcos60°，化为a²+b²-ab=4．
∵△ABC的面积等于

3

，∴

1

2

absin60°=

3

，化为ab=4，
联立

a2+b2-ab=4 ab=4

，解得a=b=2．
（II）∵sinC+sin（B-A）=2sin2A，
∴sin（A+B）+sin（B-A）=2sin2A，
∴2sinBcosA=4sinAcosA，
∴cosA=0或sinB=2sinA．
当cosA=0，A=90°，
当sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，代入a²+b²-ab=4，解得a=

2 3

3

，
则sinA=

asinC

c

=

1

2

，解得A=30°，或A=150°，
∵a＜c，∴A＜C，∴A=30°．
综上可得：A=90°或A=30°．
（III）由a²+b²-ab=4．可得：（a+b）²-3ab=4，由ab=

5

3

，解得a+b=3，
∴△ABC的周长=a+b+c=3+2=5．

点评：本题综合考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、诱导公式、等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．