Question

已知函数f（x）=Asin（ωx-

π

4

）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为

2

+1，其图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合；
（3）若x∈（0，

π

2

），求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意得到A的值和函数的半周期，由周期公式求出ω，则函数解析式可求；
（2）直接求解三角不等式得x的取值集合；
（3）由x的范围求出2x-

π

4

的范围，进一步求得函数值域．

解答： 解：（1）由题意可知，A=

2

，

T

2

=

π

2

，
则T=

2π

ω

=π，ω=2．
∴f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)+1；
（2）由

2

sin(2x-

π

4

)+1≥0，得
sin(2x-

π

4

)≥-

2

2

，即-

π

4

+2kπ≤2x-

π

4

≤

5π

4

+2kπ，
解得：kπ≤x≤

3π

4

+kπ，k∈Z．
∴使f（x）≥0成立的x的取值集合为{x|kπ≤x≤

3π

4

+kπ，k∈Z}；
（3）当x∈（0，

π

2

）时，2x-

π

4

∈(-

π

4

，

3π

4

)．
∴

2

sin(2x-

π

4

)+1∈（0，

2

+1]．
∴函数y=f（x）的值域为（0，

2

+1]．

点评：本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，考查了三角不等式的解法，训练了三角函数值域的求解方法，是中档题．