Question

已知函数f（x）=

a

a2-1

（a^x-

1

ax

），（a＞0，且a≠1）
（1）用定义法判断y=f（x）的单调性．
（2）若当时x＜2，f（x）＜4恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：综合题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）直接由函数单调性的定义对a分类说明函数的单调性；
（2）由（1）中求得的函数为定义域内的增函数，把x＜2时f（x）＜4恒成立转化为f（2）≤4恒成立，代入后求解关于a的不等式得答案．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为R，任取x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

a

a2-1

(ax1-

1

ax1

)-

a

a2-1

(ax2-

1

ax2

)=

a

a2-1

(ax1-ax2)(

ax1•ax2+1

ax1ax2

)．
①当0＜a＜1时，a²-10，ax1-ax2＞0，
∴

a

a2-1

(ax1-ax2)(

ax1•ax2+1

ax1ax2

)＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
函数f（x）在定义域内为增函数；
②当a＞1时，

a

a2-1

＞0，

ax1•ax2+1

ax1ax2

＞0，ax1-ax2＜0，
∴

a

a2-1

(ax1-ax2)(

ax1•ax2+1

ax1ax2

)＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
函数f（x）在定义域内为增函数．
∴函数f（x）在定义域内为增函数；
（2）由（1）知，当a＞0，且a≠1时函数在定义域内为增函数，
要使当x＜2时，f（x）＜4恒成立，
则f（2）≤4恒成立，
即

a

a2-1

(a2-

1

a2

)≤4恒成立．
也就是

a2+1

a

≤4恒成立．
解得：0＜a≤2+

3

且a≠1．
∴当x＜2时，f（x）＜4恒成立的实数a的取值范围为（0，1）∪（1，2

3

]．

点评：本题考查了利用定义法判断函数的单调性，考查了数学转化思想方法，训练了不等式得解法，是中高档题．