Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求PC与平面PBD所成角的大小；
（3）在线段PB上找出一点E，使得PC⊥平面ADE，并求出此时二面角A-ED-B的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由线面垂直得AC⊥PD，由正方形性质得AC⊥BD，由此能证明平面PAC⊥平面PBD．
（2）记AC与BD相交于O，连结PO，由已知条件得∠CPO就是PC与平面PBD所成的角，由此能求出PC与平面PBD所成的角为30°．
（3）分别以DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，根据PC⊥平面ADE，确定E的位置，求出满足条件的平面ADE与平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出此时二面角A-DE-B的大小．

解答： （1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴AC⊥PD，
又∵底面ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，而PD与BD交于点D，
∴AC⊥平面PBD，
又AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
（2）解：记AC与BD相交于O，连结PO，
由（1）知，AC⊥平面PBD，
∴PC在平面PBD内的射影是PO，
∴∠CPO就是PC与平面PBD所成的角，
∵PD=AD，
∴在Rt△PDC中，PC=CD，
而在正方形ABCD中，OC=AC=CD，
∴在Rt△POC中，有∠CPO=30°．
即PC与平面PBD所成的角为30°．
（3）解：分别以DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
设PD=AD=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0）
假设在线段PB上存在一点E使得PC⊥平面ADE，
设 BE=λ EF，则E（

1

1+λ

，

1

1+λ

，

λ

1+λ

）
又∵

PC

=（0，1，-1），

AE

=（

1

1+λ

-1，

1

1+λ

，

λ

1+λ

）且

PC

⊥

AE

，
∴

PC

•

AE

=0，
即

1

1+λ

-

λ

1+λ

=0，
解得：λ=1，此时E为PD的中点，
又∵PC⊥AD，
∴当点E为PB的中点时，PC⊥平面ADE
∵此时平面ADE的法向量为

PC

=（0，1，-1），
由（I）知平面BDE的法向量为

AC

=（1，1，0）
则cos＜

PC

，

.

AC

＞=

PC • AC

| PC |•| AC |

=

1

2

，
∴＜

PC

，

.

AC

＞=60°
故此时二面角的大小为60°

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，平面与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，熟练掌握空间中直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定定理，二面角的求解一般是建立空间坐标系，将空间中直线与平面的垂直关系及二面角问题，转化为向量夹角问题．