Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，E，F是线段AD₁，DB上的点，且AE=BF．
（1）求证：EF∥平面CD₁．
（2）求异面直线BD与B₁C₁．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）作EH⊥DD₁于H，FG⊥CD于G，连接HG．可以证明四边形EFGH是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可得出．
（2）由于BC∥B₁C₁，可得∠CDB即为异面直线BD与B₁C₁所成的角．

解答： （1）证明：作EH⊥DD₁于H，FG⊥CD于G，连接HG．
∵AD₁=BD，AE=BF，∴ED₁=FD，
又∠EHD₁=∠FGD=90°，∠ED₁H=∠FDG=45°，
∴△EHD₁≌△FGD，EH=FG，
又∵EH∥AD∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EF∥HG，
∵EF?平面CD₁．HG?平面CD₁．
∴EF∥平面CD₁．
（2）∵BC∥B₁C₁，
∴∠CDB即为异面直线BD与B₁C₁所成的角．
∵∠CDB=45°．
∴异面直线BD与B₁C₁所成的角为45°．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、异面直线所成的角、正方体的性质，考查了推理能力，属于基础题．