Question

已知数列{a_n}中，a₁=

2

3

，且a_n+1=（1+

1

2n

）a_n+

1

n2

（n≥2，n∈N⁺），b_n=（1+n） 

1

n

（1）当n≥2时，求证a_n≥2
（2）求证：当x＞0时，ln（1+x）＜x，且b_n＜e．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）用数学归纳法证明即可；
（2）利用分析法进行证明即可．

解答： 证明：（1）用数学归纳法证明：①当n=2时，有a₂=（1+

1

2

）a₁+1=2，a_n≥2成立；
②假设n=k时，有a_k≥2，则当n=k+1时，有a_k+1=（1+

1

2k

）a_k+

1

k2

，
由a_k≥2，得a_k+1=（1+

1

2k

）a_k+

1

k2

≥2+

2

2k-1

+

1

k2

＞2，
所以a_k+1≥2．
由①②可知：当n≥2时，有a_n≥2成立．
（2）要证明b_n＜e成立，只需证(1+n)

1

n

＜e，即ln（1+n）＜n，
当x＞0时，考查函数f（x）=ln（x+1）-x，有f′（x）=

1

1+x

，易知f′（x）＜0，
∴f（x）=ln（x+1）-x在（0，+∞）上是单调递减函数．
∴f（x）＜f（0）=0．则有ln（x+1）-x＜0，∴ln（x+1）＜x成立，
此时有ln（n+1）＜n，则有(1+n)

1

n

＜e得证，∴b_n＜e．

点评：本题考查数学归纳法、分析法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．