Question

若关于x的不等式t²+t+1≥|x-1|+|x+2|的解集是空集，则实数t的取值范围是

 

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Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：t²+t+1≥|x-1|+|x+2|的解集是空集?t²+t+1＜|x-1|+|x+2|恒成立；构造函数F（x）=|x-1|+|x+2|，利用绝对值三角不等式可求得F（x）_min=3，于是解不等式t²+t+1＜3即可．

解答： 解：关于x的不等式t²+t+1≥|x-1|+|x+2|的解集是空集?t²+t+1＜|x-1|+|x+2|恒成立；
设F（x）=|x-1|+|x+2|，
则t²+t+1＜F（x）_min，
由绝对值三角不等式得：F（x）=|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，即F（x）_min=3，
所以t²+t+1＜3，解得：-2＜t＜1，
∴实数t的取值范围是（-2，1），
故答案为：（-2，1）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查绝对值三角不等式d的应用，考查等价转化思想．构造函数思想与恒成立问题，属于中档题．