Question

下列说法中正确的有

 

．（写出所有正确命题的序号）
①存在锐角θ，使得sinθ+cosθ=

1

3

；
②y=cos（x-

π

4

）在区间[

2π

3

，π]上是减函数；
③函数f（x）=sin（2x+

π

3

）的图象关于点（

π

4

，0）对称；
④将函数f（x）=sin2x的图象向左平移

π

4

个单位后对应的函数是一个偶函数．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：由条件根据锐角的定义、正弦函数的单调性、图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答： 解：若sinθ+cosθ=

1

3

，平方可得1+2sinθcosθ=

1

9

，sinθcosθ＜0，故θ不可能是锐角，故①不正确．
对于y=cos（x-

π

4

），令 2kπ≤x-

π

4

≤2kπ+π，k∈z，求得2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

，
故 y=cos（x-

π

4

）的减区间为[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，故 y=cos（x-

π

4

）在区间[

2π

3

，π]上是减函数，
故②正确．
令x=

π

4

，求得f（0）=sin（0+

π

3

）=

3

2

≠0，∴f（x）=sin（2x+

π

3

）的图象不关于点（

π

4

，0）对称，
故③不正确．
将函数f（x）=sin2x的图象向左平移

π

4

个单位后对应的函数是y=sin2（x+

π

4

）=cos2x，显然为偶函数，
故④正确，
故答案为：②④．

点评：本题主要考查正弦函数的单调性、图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．