Question

设有长为a，宽为b的矩形，其底边在半径为R的半圆的直径所在的直线上，另两个顶点正好在半圆的圆周上，则此矩形的周长最大时，

a

b

=

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：如图所示，设圆心为点O，连接OB，设∠AOB=θ．则b=Rsinθ，

a

2

=Rcosθ．即可得出矩形的周长l=2a+2b=
=2

5

Rsin(θ+φ)．再利用三角函数的单调性即可得出．

解答： 解：如图所示，
设圆心为点O，连接OB，设∠AOB=θ．
则b=Rsinθ，

a

2

=Rcosθ．
∴矩形的周长l=2a+2b=2Rsinθ+4Rcosθ
=2

5

Rsin(θ+φ)≤2

5

R．
当且仅当tanφ=2，sin（θ+φ）=1即

a

b

=4时取等号．
故答案为：4．

点评：本题考查了利用三角函数的单调性解决最大值问题，属于中档题．