Question

对于函数f（x）与g（x），若存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）与g（x）在区间[m，n]上的值域相等，则称f（x）与g（x）为等值函数，若f（x）=a^x（a＞1）与g（x）=log_ax为等值函数，则a的取值范围为（　　）

• A、（1，

  e

  ）
• B、（

  e

  ，e）
• C、（1，e

  1

  e

  ）
• D、（e

  1

  e

  ，e）

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,指数函数的图像与性质,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据等值函数的定义，将方程关系进行转化m，n是方程a^x=log_ax的两个不同的根，然后根据指数函数和对数函数互为反函数，转化为a^x=x存在两个交点即可得到结论．

解答： 解：根据题意要使f（x）=a^x（a＞1）与g（x）=log_ax为等值函数，
则函数f（x）与g（x）单调递增，
则

f(m)=g(m) f(n)=g(n)

，即m，n是方程a^x=log_ax的两个不同的根，
则等价为f（x）与m（x）=x，有两个交点即可，
f′（x）=a^xlna，m′（x）=1，
令f′（t）=m′（t）=1，即a^tlna=1，
at=

1

lna

=logae，则t=log_a（log_ae），
由要使f（x）与m（x）=x，有两个交点，
则m（t）＞a^t，
即t＞a^t，
∴log_a（log_ae）＞log_ae，
即log_ae＞e，
∴

1

lna

＞e，lna＜

1

e

，
解得a＜e

1

e

，
综上1＜a＜e

1

e

，
故a的取值范围为（1，e

1

e

），
故选：C．

点评：本题主要考查函数与方程之间的关系，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．