Question

【题目】定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的，如图，椭圆与椭圆是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点，椭圆的长轴长是4，椭圆，短轴长是1，点，分别是椭圆的左焦点与右焦点.

（1）求椭圆，的方程；

（2）过的直线交椭圆于点，，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题

(1)利用题意结合“相似”的定义设椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为，由a,b,c的关系可得：椭圆的方程为，椭圆的方程是；

(2)由题意可得三角形面积的表达式，结合均值不等式的结论可得的面积的最大值为.

试题解析：

解：（1）设椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为，由已知，，，

∵椭圆与椭圆的离心率相等，即，

∴，即，

∴，即，∴，

∴椭圆的方程为，椭圆的方程是；

（2）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为.

联立：，得，即，

∴，设，，

则，，∴，

的高即为点到直线：的距离，

∴的面积，

∵，等号成立当且仅当，即时，

∴，即的面积的最大值为.