Question

20．下列命题中，所有正确命题的序号为①②③④
 ①若$\overrightarrow{n_1}、\overrightarrow{n_2}$分别是平面α、β的法向量，则$\overrightarrow{n_1}$∥$\overrightarrow{n_2}$?α∥β
 ②若$\overrightarrow{n_1}、\overrightarrow{n_2}$分别是平面α、β的法向量，则α⊥β?$\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}=0$
 ③若$\overrightarrow n$是平面α的法向量，$\overrightarrow a$与α共面，则$\overrightarrow n$⊥$\overrightarrow a$．
 ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．

Answer 1

分析 ①由面面平行则法向量共线，反之亦然判断；②由面面垂直的定义判断；③由线在垂直的性持定理判断；④由面面垂直的定义判断．

解答 解：①中平面α，β是指不重合两平面，由$\overrightarrow{n_1}$∥$\overrightarrow{n_2}$⇒α∥β，由α∥β⇒$\overrightarrow{n_1}$∥$\overrightarrow{n_2}$，正确；
②α⊥β，则α与β成90°角，由圆的内接四边形对顶角互补知法向量垂直，反之当法向量垂直，则成90°，由内接四边形对顶角互补，知两平面垂直．正确；
③a与α共面，则a在平面内或与平面平行，∴平面的法向量与直线a垂直，正确；
④若两个平面的法向量不垂直，则成角不是90°，则由圆内角四边形对顶角互补知两平面所成的角不是90°，正确．
∴正确命题的序号实数①②③④．
故答案为：①②③④．

点评 本题主要考查用向量法来解决面面平行，面面垂直等问题，是中档题．