Question

5．已知函数f（x）=$\frac{2a{x}^{2}+bx+1}{{e}^{x}}$（e为自然对数的底数）．
（1）当a=b=0时，直接写出f（x）的值域（不要求写出求解过程）；
（2）若a=$\frac{1}{2}$，求函数f（x）的单调区间；
（3）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，根据指数函数的性质求出函数的值域即可；
（2）由a的值，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；
（3）根据函数与方程之间的关系转化为函数存在零点问题，构造函数，求函数的导数，利用函数极值和函数零点之间的关系进行转化求解即可．

解答 解：（1）a=b=0时，f（x）=e^-x，f（x）的值域是（0，+∞）；
（2）若a=$\frac{1}{2}$，f（x）=（x²+bx+1）e^-x，
则f′（x）=（2x+b）e^-x-（x²+bx+1）e^-x=-[x²+（b-2）x+1-b]e^-x=-（x-1）[x-（1-b）]e^-x，
由f′（x）=0得-（x-1）[x-（1-b）]=0，即x=1或x=1-b，
①若1-b=1，即b=0时，f′（x）=-（x-1）²e^-x≤0，此时函数单调递减，单调递减区间为（-∞，+∞）．
②若1-b＞1，即b＜0时，由f′（x）=-（x-1）[x-（1-b）]e^-x＞0得（x-1）[x-（1-b）]＜0，即1＜x＜1-b，
此时函数单调递增，单调递增区间为（1，1-b），
由f′（x）=-（x-1）[x-（1-b）]e^-x＜0得（x-1）[x-（1-b）]＞0，即x＜1，或x＞1-b，
此时函数单调递减，单调递减区间为（-∞，1），（1-b，+∞），
③若1-b＜1，即b＞0时，由f′（x）=-（x-1）[x-（1-b）]e^-x＞0得（x-1）[x-（1-b）]＜0，即1-b＜x＜1，
此时函数单调递增，单调递增区间为（1-b，1），
由f′（x）=-（x-1）[x-（1-b）]e^-x＜0得（x-1）[x-（1-b）]＞0，即x＜1-b，或x＞1，
此时函数单调递减，单调递减区间为（-∞，1-b），（1，+∞）．
（3）若f（1）=1，则f（1）=（2a+b+1）e^-1=1，
即2a+b+1=e，则b=e-1-2a，
若方程f（x）=1在（0，1）内有解，
即方程f（x）=（2ax²+bx+1）e^-x=1在（0，1）内有解，
即2ax²+bx+1=e^x在（0，1）内有解，
即e^x-2ax²-bx-1=0，
设g（x）=e^x-2ax²-bx-1，
则g（x）在（0，1）内有零点，
设x₀是g（x）在（0，1）内的一个零点，
则g（0）=0，g（1）=0，知函数g（x）在（0，x₀）和（x₀，1）上不可能单调递增，也不可能单调递减，
设h（x）=g′（x），
则h（x）在（0，x₀）和（x₀，1）上存在零点，
即h（x）在（0，1）上至少有两个零点，
g′（x）=e^x-4ax-b，h′（x）=e^x-4a，
当a≤$\frac{1}{4}$时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上递增，h（x）不可能有两个及以上零点，
当a≥$\frac{e}{4}$时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上递减，h（x）不可能有两个及以上零点，
当$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{e}{4}$时，令h′（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1），
则h（x）在（0，ln（4a））上递减，在（ln（4a），1）上递增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a））．
若h（x）有两个零点，则有h（ln（4a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0，
h（ln（4a））=4a-4aln（4a）-b=6a-4aln（4a）+1-e，$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{e}{4}$，
设φ（x）=$\frac{3}{2}$x-xlnx+1-x，（1＜x＜e），
则φ′（x）=$\frac{1}{2}$-lnx，
令φ′（x）=$\frac{1}{2}$-lnx=0，得x=$\sqrt{e}$，
当1＜x＜$\sqrt{e}$时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）递增，
当$\sqrt{e}$＜x＜e时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）递减，
则φ（x）_max=φ（$\sqrt{e}$）=$\sqrt{e}$+1-e＜0，
则h（ln（4a））＜0恒成立，
由h（0）=1-b=2a-e+2＞0，h（1）=e-4a-b＞0，
得$\frac{e-2}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
当$\frac{e-2}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$时，设h（x）的两个零点为x₁，x₂，则g（x）在（0，x₁）递增，
在（x₁，x₂）上递减，在（x₂，1）递增，
则g（x₁）＞g（0）=0，
g（x₂）＜g（1）=0，
则g（x）在（x₁，x₂）内有零点，
综上，实数a的取值范围是（$\frac{e-2}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查函数单调性和单调区间的求解和判断，利用函数单调性的性质以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．