Question

12．已知数列{a_n}为等比数列，其前n项和为S_n，则下列结论正确的是（　　）

• A． 若a₁+a₂＞0，则a₁+a₃＞0
• B． 若a₁+a₃＞0，则a₁+a₂＞0
• C． 若a₁＞0，则S₂₀₁₇＞0
• D． 若a₁＞0，则S₂₀₁₆＞0

Answer 1

分析 对等比数列中的公比q讨论，可得答案．

解答 解：对于A：a₁+a₂＞0，即a₁（1+q）＞0，那么a₁+a₃=a₁（1+q²），当a₁＞0，可得a₁+a₃＞0，当a₁＜0时，a₁+a₃＞0不成立．
对于B：a₁+a₃＞0，即a₁+a₃=a₁（1+q²）＞0，可得a₁＞0，a₁+a₂＞0，即a₁（1+q）＞0，当1+q＜0时，不成立．
对于C：a₁＞0，则S₂₀₁₇=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2017}）}{1-q}$，当q＞1时，S₂₀₁₇＞0．
当0＜q＜1时，1-q＞0，1-q²⁰¹⁷＞0，∴S₂₀₁₇＞0．
当-1＜q＜0时，1-q＞0，1-q²⁰¹⁷＞0，∴S₂₀₁₇＞0．
当q＜-1时，1-q＜0，1-q²⁰¹⁷＜0，∴S₂₀₁₇＞0．
对于D：a₁＞0，则S₂₀₁₆=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2016}）}{1-q}$，当q＞1时，1-q＜0，1-q²⁰¹⁶＜0，∴S₂₀₁₆＞0．
当0＜q＜1时，1-q＞0，1-q²⁰¹⁶＞0，∴S₂₀₁₆＞0．
当-1＜q＜0时，1-q＞0，1-q²⁰¹⁶＞0，∴S₂₀₁₆＞0．
当q＜-1时，1-q＞0，1-q²⁰¹⁶＜0，∴S₂₀₁₆＜0．
故选C．

点评 本题主要考查等比数列的应用，根据等比数列的通项和前n项和为S_n建立关系对公比q讨论比较．