Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=

1

2

S_n+1（n∈N^*）；
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n，c_n=

1

bnbn+2

，且{c_n}的前n项和为T_n，求使得

k

24

＜T_n＜

k+13

24

对n∈N^*都成立的所有正整数k的值．

Answer 1

分析：（1）由a_n=

1

2

S_n+1，知a_n-1=

1

2

S_n-1+1（n≥2），从而a_n=2a_n-1（n≥2），由此能够求出数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=n，cn=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，裂项相消得Tn=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)，T1≤Tn＜

3

4

，即

1

3

≤Tn＜

3

4

，由此能求出使得

k

24

＜Tn＜

k+13

24

对n∈N^*都成立的所有正整数k的值．

解答：解：（1）a_n=

1

2

S_n+1①
a_n-1=

1

2

S_n-1+1（n≥2）②
①-②得：a_n=2a_n-1（n≥2），又易得a₁=2∴a_n=2ⁿ（4分）
（2）b_n=n，cn=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
裂项相消可得Tn=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)（8分）
∵T1≤Tn＜

3

4

，即

1

3

≤Tn＜

3

4

（10分）
∴欲

k

24

＜Tn＜

k+13

24

对n∈N^*都成立，须

1 3 ＞ k 24 3 4 ≤ k+13 24

，得5≤k＜8，
又k正整数，∴k=5、6、7（12分）

点评：本题考查求解数列通项公式的方法和裂项求和法的应用，解题时要灵活运用不等式的性质求解参数的取值范围．