【题目】设函数f(x)= ,则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( )
A.[ ,1]
B.[0,1]
C.[ ,+∞)
D.[1,+∞)
【答案】C
【解析】解:令f(a)=t,
则f(t)=2t ,
当t<1时,3t﹣1=2t ,
由g(t)=3t﹣1﹣2t的导数为g′(t)=3﹣2tln2,
在t<1时,g′(t)>0,g(t)在(﹣∞,1)递增,
即有g(t)<g(1)=0,
则方程3t﹣1=2t无解;
当t≥1时,2t=2t成立,
由f(a)≥1,即3a﹣1≥1,解得a≥ ,且a<1;
或a≥1,2a≥1解得a≥0,即为a≥1.
综上可得a的范围是a≥ .
故选C.
令f(a)=t,则f(t)=2t , 讨论t<1,运用导数判断单调性,进而得到方程无解,讨论t≥1时,以及a<1,a≥1,由分段函数的解析式,解不等式即可得到所求范围.
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【题目】下列四个命题中,正确的有( ) ①两个变量间的相关系数r越小,说明两变量间的线性相关程度越低;
②命题“x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“对x∈R,均有x2+x+1>0”;
③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件;
④若函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1有极值0,则a=2,b=9或a=1,b=3.
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3个
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【题目】(本小题满分12分) 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表(假设该区域空气质量指数不会超过):
空气质量指数 | ||||||
空气质量等级 |
|
|
|
|
|
|
该社团将该校区在年
天的空气质量指数监测数据作为样本,绘制的频率分布直方图如下图,把该直方图所得频率估计为概率.
(Ⅰ)请估算年(以
天计算)全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算);
(Ⅱ)该校年
月
、
日将作为高考考场,若这两天中某天出现
级重度污染,需要净化空气费用
元,出现
级严重污染,需要净化空气费用
元,记这两天净化空气总费用为
元,求
的分布列及数学期望.
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【题目】已知集合A={x|x2+ax﹣6a2≤0},B={x||x﹣2|<a},
(1)当a=1时,求A∩B和A∪B;
(2)当BA时,求实数a的取值范围.
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , 并且满足2Sn=an2+n,an>0(n∈N*).
(1)求a1 , a2 , a3;
(2)猜想{an}的通项公式,并加以证明;
(3)设x>0,y>0,且x+y=1,证明: ≤
.
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【题目】已知函数f(x)=x2+alnx.
(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a=﹣2时,求函数f(x)的极值;
(3)若函数g(x)=f(x)+ 在[1,4]上是减函数,求实数a的取值范围.
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【题目】从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120,130]内的学生人数为( )
A.20
B.25
C.30
D.35
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