【题目】已知函数f(x)=x2+alnx.
(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a=﹣2时,求函数f(x)的极值;
(3)若函数g(x)=f(x)+ 在[1,4]上是减函数,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解: a=1时,f(x)=x2+lnx,f′(x)=2x+ ,
故f(1)=1,f′(1)=3,
故切线方程是:y﹣1=3(x﹣1),
即3x﹣y﹣2=0;
(2)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞)
当a=﹣2时,f′(x)=2x﹣ =
,
令f′(x)>0,解得:x>1,令f′(x)<0,解得:0<x<1,
故函数f(x)单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞)
∴极小值是f(1)=1,没有极大值;
(3)解:由g(x)=x2+alnx+ ,得g′(x)=2x+
﹣
,
又函数g(x)=x2+alnx+ 为[1,4]上的单调减函数,
则g'(x)≤0在[1,4]上恒成立,
所以不等式2x+ ﹣
≤0在[1,4]上恒成立,
即a≤ ﹣2x2在[1,4]上恒成立,
设φ(x)= ﹣2x2,显然(x)在[1,4]上为减函数,
所以(x)的最小值为(4)=﹣ ,
∴a的取值范围是a≤﹣
【解析】(1)求出f(1),f′(1),代入切线方程即可;(2)求出f(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(3)由g(x)=x2+alnx+ ,得g′(x),由g'(x)≤0在[1,4]上恒成立,可得a≤
﹣2x2在[1,4]上恒成立.构造函数φ(x)=
﹣2x2 , 求其最小值即可.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值才能正确解答此题.
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【题目】国家“十三五”计划,提出创新兴国,实现中国创新,某市教育局为了提高学生的创新能力,把行动落到实处,举办一次物理、化学综合创新技能大赛,某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩(x)和化学成绩(y)进行回归分析,求得回归直线方程为y=1.5x﹣35.由于某种原因,成绩表(如表所示)中缺失了乙的物理和化学成绩.
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
物理成绩(x) | 75 | m | 80 | 85 |
化学成绩(y) | 80 | n | 85 | 95 |
综合素质 | 155 | 160 | 165 | 180 |
(1)请设法还原乙的物理成绩m和化学成绩n;
(2)在全市物理化学科技创新比赛中,由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛.共举行3场比赛,每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛,每场比赛所抽的选手中,只要有一名选手的综合素质分高于160分,就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章.若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ,试根据上表所提供数据,预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望.
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【题目】已知函数f(x)=2cosxsin(x+ )﹣a,且x=﹣
是方程f(x)=0的一个解.
(1)求实数a的值及函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)若关于x的方程f(x)=b在区间(0, )上恰有三个不相等的实数根x1 , x2 , x3 , 直接写出实数b的取值范围及x1+x2+x3的取值范围(不需要给出解题过程)
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【题目】已知函数f(x)=(log2x﹣2)(log4x﹣ )
(1)当x∈[2,4]时,求该函数的值域;
(2)若f(x)>mlog2x对于x∈[4,16]恒成立,求m的取值范围.
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【题目】袋子中有大小、质地相同的红球、黑球各一个,现有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球,若摸出红球,得10分,摸出黑球,得5分,则3次摸球所得总分至少是25分的概率是___.
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【题目】已知函数f(x)=x2+2bx,g(x)=|x﹣1|,若对任意x1 , x2∈[0,2],当x1<x2时都有f(x1)﹣f(x2)<g(x1)﹣g(x2),则实数b的最小值为 .
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【题目】已知O点为△ABC所在平面内一点,且满足 +2
+3
=
,现将一粒质点随机撒在△ABC内,若质点落在△AOC的概率为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)=x2﹣2x﹣t(t为常数)有两个零点,g(x)= .
(1)求g(x)的值域(用t表示);
(2)当t变化时,平行于x轴的一条直线与y=|f(x)|的图象恰有三个交点,该直线与y=g(x)的图象的交点横坐标的取值集合为M,求M.
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