Question

【题目】已知函数f（x）=x2+alnx．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a=﹣2时，求函数f（x）的极值；
（3）若函数g（x）=f（x）+ 在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： a=1时，f（x）=x2+lnx，f′（x）=2x+ ，

故f（1）=1，f′（1）=3，

故切线方程是：y﹣1=3（x﹣1），

即3x﹣y﹣2=0；

（2）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）

当a=﹣2时，f′（x）=2x﹣ = ，

令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，

故函数f（x）单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）

∴极小值是f（1）=1，没有极大值；

（3）解：由g（x）=x2+alnx+ ，得g′（x）=2x+ ﹣ ，

又函数g（x）=x2+alnx+ 为[1，4]上的单调减函数，

则g'（x）≤0在[1，4]上恒成立，

所以不等式2x+ ﹣ ≤0在[1，4]上恒成立，

即a≤ ﹣2x2在[1，4]上恒成立，

设φ（x）= ﹣2x2，显然（x）在[1，4]上为减函数，

所以（x）的最小值为（4）=﹣ ，

∴a的取值范围是a≤﹣

【解析】（1）求出f（1），f′（1），代入切线方程即可；（2）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（3）由g（x）=x2+alnx+ ，得g′（x），由g'（x）≤0在[1，4]上恒成立，可得a≤ ﹣2x2在[1，4]上恒成立．构造函数φ（x）= ﹣2x2 ， 求其最小值即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．