Question

【题目】已知函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣ ）
（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；
（2）若f（x）＞mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣ ）

= （log2x）2﹣ log2x+1，2≤x≤4

令t=log2x，则y= t2﹣ t+1= （t﹣ ）2﹣ ，

∵2≤x≤4，

∴1≤t≤2．

当t= 时，ymin=﹣ ，当t=1，或t=2时，ymax=0．

∴函数的值域是[﹣ ，0]

（2）解：令t=log2x，得 t2﹣ t+1＞mt对于2≤t≤4恒成立．

∴m＜ t+ ﹣ 对于t∈[2，4]恒成立，

设g（t）= t+ ﹣ ，t∈[2，4]，

∴g（t）= t+ ﹣ = （t+ ）﹣ ，

∵g（t）= t+ ﹣ 在[2，4]上为增函数，

∴当t=2时，g（t）min=g（2）=0，

∴m＜0．

【解析】（1）f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣ ）= （log2x）2﹣ log2x+1，2≤x≤4，令t=log2x，则y= t2﹣ t+1= （t﹣ ）2﹣ ，由此能求出函数的值域．（2）令t=log2x，得 t2﹣ t+1＞mt对于2≤t≤4恒成立，从而得到m＜ t+ ﹣ 对于t∈[2，4]恒成立，构造函数g（t）= t+ ﹣ ，t∈[2，4]，能求出m的取值范围．