Question

【题目】已知函数的图象在点处的切线方程为．

（Ⅰ）求实数、的值；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值；

（Ⅲ）曲线上存在两点、，使得是以坐标原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时在[-1，2]上的最大值为2，

当时在[-1，2]上的最大值为；（Ⅲ）.

【解析】试题分析：（1）利用导数几何意义： 可列等量关系.当时， 所以，又所以因此 （2）求分段函数最值，先分别讨论各区间函数最值，再比较大小，确定最值．当时，由得或，列表分析得的最大值为,当时， ，需根据c的值确定函数最值，当时， 恒成立， ，当时， 的最大值为，比较与2的大小得：当时， 在上的最大值为，当时， 在上的最大值为（3）利用坐标探求等量关系，确定坐标所在位置是解题关键．根据条件， 的横坐标互为相反数，不妨设， ， .若，则，有

，无解，若，则.有， 取值范围是

（1）当时，

所以，又

所以因此

（2）当时，由得或，列表得：

x	-1	(-1,0)	0				1
		-	0	+	0	-
	2	↘		↗		↘	0

所以当时， 的最大值为，

当时， ，

当时， 恒成立， ，

此时在上的最大值为；

当时， 在上单调递增，且.

令，则，所以当时，

在上的最大值为；

当时， 在上的最大值为.

综上可知，当时， 在上的最大值为；

当时， 在上的最大值为.

⑶，根据条件， 的横坐标互为相反数，不妨设， ， .

若，则，

由是直角得， ，即，

即.此时无解；

若，则．由于的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，即．同理有，即， ．由于函数的值域是，实数的取值范围是即为所求.