Question

【题目】已知圆F1:(x+1)2+y2=16,定点F2(1,0),A是圆F1上的一动点,线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点.

(1)求P点的轨迹C的方程；

(2)四边形EFGH的四个顶点都在曲线C上,且对角线EG,FH过原点O,

若kEGkFH=-,求证：四边形EFGH的面积为定值,并求出此定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析．

【解析】试题分析：（I）利用椭圆的定义，即可求 点的轨迹 的方程；（II）不妨设点 位于 轴的上方，在直线 的斜率存在，设的方程为 ，与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式及三角形面积公式求四边形出面积用 表示，化简消去即可证明结论.

试题解析：（Ⅰ）因为在线段的中垂线上,所以.

所以,

所以轨迹是以为焦点的椭圆,且,所以,

故轨迹的方程.

（Ⅱ）证明：不妨设点E、H位于x轴的上方,则直线EH的斜率存在,设EH的方程为, .

联立,得,

则. ①

由,

得. ②

由①、②,得. ③

设原点到直线EH的距离为,

,

④

由③、④,得,故四边形EFGH的面积为定值,且定值为.