Question

【题目】已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2 ， a4的等差中项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=anlog2an ， 其前n项和为Sn ， 若（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设等比数列的{an}首项为a1 ， 公比为q． 由题意可知： ，
解得： 或 ，
∵数列为单调递增的等比数列，
∴an=2n；
（Ⅱ）bn=anlog2an =n2n ，
∴Sn=b1+b2+…+bn=121+222+…+n2n ， ①
2Sn=122+223+324+…+n2n+1 ， ②
① ﹣②，得：﹣Sn=2+22+23+…+2n﹣n2n+1
= ﹣n2n+1=2n+1﹣2﹣n2n+1 ，
∴Sn=（n﹣1）2n+1+2，
若（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，
则（n﹣1）2≤m[（n﹣1）2n+1+2﹣n﹣1]=m[（n﹣1）2n+1+1﹣n]对于n≥2恒成立，
即 = 对于n≥2恒成立，
∵ = ，
∴数列{ }为递减数列，
则当n=2时， 的最大值为 ．
∴m≥ ．
则实数m得取值范围为[ ，+∞）
【解析】（Ⅰ）设出等比数列{an}的首项和公比，由已知列式求得首项和公比，则数列{an}的通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通项公式代入bn=anlog2an ， 利用错位相减法求得Sn ， 代入（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1），分离变量m，由单调性求得最值得答案．
【考点精析】本题主要考查了对数的运算性质和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握①加法：②减法：③数乘：④⑤；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．