【题目】已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2 , a4的等差中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=anlog2an , 其前n项和为Sn , 若(n﹣1)2≤m(Sn﹣n﹣1)对于n≥2恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)设等比数列的{an}首项为a1 , 公比为q. 由题意可知: ,
解得: 或
,
∵数列为单调递增的等比数列,
∴an=2n;
(Ⅱ)bn=anlog2an =n2n ,
∴Sn=b1+b2+…+bn=121+222+…+n2n , ①
2Sn=122+223+324+…+n2n+1 , ②
① ﹣②,得:﹣Sn=2+22+23+…+2n﹣n2n+1
= ﹣n2n+1=2n+1﹣2﹣n2n+1 ,
∴Sn=(n﹣1)2n+1+2,
若(n﹣1)2≤m(Sn﹣n﹣1)对于n≥2恒成立,
则(n﹣1)2≤m[(n﹣1)2n+1+2﹣n﹣1]=m[(n﹣1)2n+1+1﹣n]对于n≥2恒成立,
即 =
对于n≥2恒成立,
∵ =
,
∴数列{ }为递减数列,
则当n=2时, 的最大值为
.
∴m≥ .
则实数m得取值范围为[ ,+∞)
【解析】(Ⅰ)设出等比数列{an}的首项和公比,由已知列式求得首项和公比,则数列{an}的通项公式可求;(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的通项公式代入bn=anlog2an , 利用错位相减法求得Sn , 代入(n﹣1)2≤m(Sn﹣n﹣1),分离变量m,由单调性求得最值得答案.
【考点精析】本题主要考查了对数的运算性质和数列的前n项和的相关知识点,需要掌握①加法:②减法:
③数乘:
④
⑤
;数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
才能正确解答此题.
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81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 |
06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49 |
A. 12 B. 33 C. 06 D. 16
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(2)四边形EFGH的四个顶点都在曲线C上,且对角线EG,FH过原点O,
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