【题目】已知函数f(x)=2cosxsin(x+ )﹣a,且x=﹣
是方程f(x)=0的一个解.
(1)求实数a的值及函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)若关于x的方程f(x)=b在区间(0, )上恰有三个不相等的实数根x1 , x2 , x3 , 直接写出实数b的取值范围及x1+x2+x3的取值范围(不需要给出解题过程)
【答案】
(1)解:函数f(x)=2cosxsin(x+ )﹣a,且x=﹣
是方程f(x)=0的一个解,
∴f(﹣ )=0,
即2cos(﹣ )sin(﹣
+
)﹣a=0,
解得a=sin =
,
∴f(x)=2cosxsin(x+ )﹣
=2cosx( sinx+
cosx)﹣
= sinxcosx+cos2x﹣
= sin2x+
﹣
= sin2x+
cos2x
=sin(2x+ );
∴函数f(x)的最小正周期为T= =π
(2)解:令 +2kπ≤2x+
≤
+2kπ,k∈Z,
解得 +kπ≤x≤
+kπ,k∈Z;
∴函数f(x)的单调递减区间是[ +kπ,
+kπ],(k∈Z)
(3)解:关于x的方程f(x)=b在区间(0, )上恰有三个不相等的实数根x1,x2,x3,
则实数b的取值范围是( ,1);
x1+x2+x3的取值范围是( ,
)
【解析】(1)根据f(﹣ )=0求出a的值,再化简f(x),求出f(x)的最小正周期;(2)根据正弦函数的图象与性质,即可求出f(x)的单调递减区间是;(3)根据函数f(x)的图象与性质,结合题意,即可得出b与x1+x2+x3的取值范围.
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【题目】已知定义在R上的函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x>0,A>0)的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)写出函数f(x)的单调递增区间
(3)设不相等的实数,x1 , x2∈(0,π),且f(x1)=f(x2)=﹣2,求x1+x2的值.
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)分析该函数是如何通过y=sinx变换得来的?
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【题目】已知椭圆 的离心率
,左右焦点分别为
是椭圆在第一象限上的一个动点,圆
与
的延长线,
的延长线以及线段
都相切,
为一个切点.
(1)求椭圆方程;
(2)设 ,过
且不垂直于坐标轴的动点直线
交椭圆于
两点,若以
为邻边的平行四边形是菱形,求直线
的方程.
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【题目】(本小题满分12分) 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表(假设该区域空气质量指数不会超过):
空气质量指数 | ||||||
空气质量等级 |
|
|
|
|
|
|
该社团将该校区在年
天的空气质量指数监测数据作为样本,绘制的频率分布直方图如下图,把该直方图所得频率估计为概率.
(Ⅰ)请估算年(以
天计算)全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算);
(Ⅱ)该校年
月
、
日将作为高考考场,若这两天中某天出现
级重度污染,需要净化空气费用
元,出现
级严重污染,需要净化空气费用
元,记这两天净化空气总费用为
元,求
的分布列及数学期望.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点
的极坐标为
,圆
的参数方程为
(
为参数),(1)直线
过
且与圆
相切,求直线
的极坐标方程;(2)过点
且斜率为
的直线
与圆
交于
,
两点,若
,求实数
的值.
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【题目】已知集合A={x|x2+ax﹣6a2≤0},B={x||x﹣2|<a},
(1)当a=1时,求A∩B和A∪B;
(2)当BA时,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=x2+alnx.
(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a=﹣2时,求函数f(x)的极值;
(3)若函数g(x)=f(x)+ 在[1,4]上是减函数,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)= ,若方程f(x)=a有四个不同的解x1 , x2 , x3 , x4 , 且x1<x2<x3<x4 , 则x3(x1+x2)+
的取值范围是( )
A.(﹣1,+∞)
B.(﹣1,1]
C.(﹣∞,1)
D.[﹣1,1)
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