Question

【题目】已知关于x的不等式x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．

（Ⅰ）解该不等式；

（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）当1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a，

当a=1或a=2时，原不等式的解集为，

当a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．

（2）当a=4时，dmax=6.

【解析】试题分析：（1）先考虑因式分解，再比较两根关系，当1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a，当a=1或a=2时，原不等式的解集为，当a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．（2），求该式子的最值即可.

（Ⅰ）原不等式可化为(x-a2-2)（x﹣3a）＜0，

当a2+2＜3a，即1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a；

当a2+2=3a，即a=1或a=2时，原不等式的解集为；

当a2+2＞3a，即a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．

综上所述，当1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a，

当a=1或a=2时，原不等式的解集为，

当a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．

（Ⅱ）当a=1或a=2时，该不等式解集表示的区间长度不可能最大．当a≠1且a≠2时，

，a∈R．设t=a2+2﹣3a，a∈R，则当a=0时，t=2，当 时， ，当a=4时，t=6，∴当a=4时，dmax=6．