Question

给出下列命题：
①x²≠y²?x≠y或x≠-y；
②命题“若a，b是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a、b都不是偶数”；
③若“p或q”为假命题，则“非p且非q”是真命题；
④已知a、b、c是实数，关于x的不等式ax²+bx+c≤0的解集是空集，必有a＞0且△≤0；
⑤设f1(x)=

2

1+x

，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，且an=

fn(0)-1

fn(0)+2

，则a₂₀₁₀=(-

1

2

)2011．
正确的是

③⑤

．（填番号）

Answer 1

分析：①x²≠y²可得x≠y且x≠-y；可判断①
②根据逆否命题是对原命题的题设和结论分别进行否定且交换题设与结论的位置可判断②
③由p或q为假命题，可知p，q都为假命题，根据复合命题的真假关系可判断③
④例如，a=b=0，c=1，关于x的不等式ax²+bx+c≤0的解集是空集，可判断④
⑤由f1(x)=

2

1+x

，可得f₁（0），根据已知可得a_n+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

2 1+fn(0) -1

2 1+fn(0) +2

1-fn(0)

4+2fn(0)

，结合等比数列的通项公式可求a_n，进而可求

解答：解；：①x²≠y²?x≠y且x≠-y；故①错误
②命题“若a，b是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数”；故②错误
③若“p或q”为假命题，则p，q都为假命题，￢p，￢q都为真命题，“非p且非q”是真命题；故③正确
④例如，a=b=0，c=1，关于x的不等式ax²+bx+c≤0的解集是空集，故④错误
⑤由f1(x)=

2

1+x

，可得f₁（0）=2
∴a1=

f1(0)-1

f1(0)+2

=

1

4

∴f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=

2

1+fn(0)

∴a_n+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

2 1+fn(0) -1

2 1+fn(0) +2

1-fn(0)

4+2fn(0)

=-

1

2

an
∴数列{a_n}是首项为

1

4

为首项，以-

1

2

为公比的等比数列
∴a_n=

1

4

•(-

1

2

)n-1
∴aa2010=

1

4

•(-

1

2

)2009=-(

1

2

)2011，故 ⑤正确
故答案为：③⑤

点评：本题主要考查了命题的否命题的写法，复合命题的真假关系的应用及不等式的恒成立问题的应用，而⑤中的等比关系的确定是解答的难点所在．