Question

已知曲线C：x²+（k-1）y²-3ky+2k=0 （k≠2）．给出下列命题：
（1）k=1，C是抛物线；
（2）1＜k＜2，C是焦点在y轴上椭圆；
（3）k＞2，C是焦点在x轴上椭圆；
（4）k＜1，k≠0，C是双曲线．
其中真命题序号是

①②

．

Answer 1

分析：对于（1）取特殊值k=1，C是x²-3y+2=0 其表示的曲线是抛物线；对于（2）对C配方LC：x²+（k-1）y²-3ky+2k=0 （k≠2）可化成：C：x²+（k-1）[y-

3k

2(k-1)

]²=

9k 2

2(k-1)

-2k，再进行判断；（3）k＞2，由于C：x²+（k-1）y²-3ky+2k=0中含有y的一次项，C不表示是焦点在x轴上椭圆．（4）k＜1，k≠0，C不是双曲线．

解答：解：（1）k=1，C是x²-3y+2=0 其表示的曲线是抛物线；故（1）正确；
（2）C：x²+（k-1）y²-3ky+2k=0 （k≠2）可化成：
C：x²+（k-1）[y-

3k

2(k-1)

]²=

9k 2

2(k-1)

-2k，
当1＜k＜2，C是焦点在y轴上椭圆；正确．
（3）k＞2，由于C：x²+（k-1）y²-3ky+2k=0中含有y的一次项，C不表示是焦点在x轴上椭圆；故错．
（4）k＜1，k≠0，C不是双曲线．
其中真命题序号是 ①②．
故答案为：①②．

点评：本小题主要考查圆锥曲线的共同特征、配方法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于基础题．