Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若b＞0，试说明$\frac{1}{a+b}$＜ln$\frac{a+b}{b}$＜$\frac{a}{b}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（x）≥0，且a＞0，得ax-1≥0，即x$≥\frac{1}{a}$，再由x的范围求得a的范围；
（Ⅱ）b＞0，由（Ⅰ）知a≥1，可得$\frac{a+b}{b}$＞1，由f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在（1，+∞）上是增函数，可得f（$\frac{a+b}{b}$）＞f（1），化简得到$\frac{1}{a+b}$＜$ln\frac{a+b}{b}$；
由ln$\frac{a+b}{b}$＜$\frac{a}{b}$?$ln\frac{a+b}{b}-\frac{a}{b}=ln（1+\frac{a}{b}）-\frac{a}{b}$＜0．构造辅助函数g（x）=ln（1+x）-x（x∈[0，+∞）），利用导数判断函数g（x）在[0，+∞）上为减函数．由g（$\frac{a}{b}$）＜g（0）得ln$\frac{a+b}{b}$＜$\frac{a}{b}$．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$-\frac{1}{a{x}^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{a{x}^{2}}$，
由f′（x）≥0，且a＞0，得ax-1≥0，即x$≥\frac{1}{a}$，
∵x∈（1，+∞），∴$\frac{1}{a}≤1$，即a≥1；
（Ⅱ）∵b＞0，由（Ⅰ）知，a≥1．
∴$\frac{a+b}{b}$＞1，又f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在（1，+∞）上是增函数，
∴f（$\frac{a+b}{b}$）＞f（1），即$\frac{1-\frac{a+b}{b}}{a•\frac{a+b}{b}}+ln\frac{a+b}{b}$＞0．
化简得：$\frac{1}{a+b}$＜$ln\frac{a+b}{b}$；
ln$\frac{a+b}{b}$＜$\frac{a}{b}$?$ln\frac{a+b}{b}-\frac{a}{b}=ln（1+\frac{a}{b}）-\frac{a}{b}$＜0．
令g（x）=ln（1+x）-x（x∈[0，+∞）），则g′（x）=$\frac{1}{1+x}-1=\frac{-x}{1+x}$＜0．
∴函数g（x）在[0，+∞）上为减函数．
∴g（$\frac{a}{b}$）=ln（1+$\frac{a}{b}$）=ln$\frac{a+b}{b}$-$\frac{a}{b}$＜g（0）=0．
综上，$\frac{1}{a+b}$＜ln$\frac{a+b}{b}$＜$\frac{a}{b}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题．