Question

7．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）+f（-x）=2若函数y=f（x）与函数y=$\frac{1+x}{x}$的图象的交点依次为（x₁，y₁），（x₂，y₂），…（x_i，y_i）则$\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}+{y}_{i}）$=（　　）

• A． 0
• B． n
• C． 2n
• D． 4n

Answer 1

分析 由条件可得f（x）+f（-x）=2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y=$\frac{1+x}{x}$，即y=1+$\frac{1}{x}$的图象关于点（0，1）对称，即有（x₁，y₁）为交点，即有（-x₁，2-y₁）也为交点，计算即可得到所求和．

解答 解：函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=2-f（x），
即为f（x）+f（-x）=2，
可得f（x）关于点（0，1）对称，
函数y=$\frac{x+1}{x}$，即y=1+$\frac{1}{x}$的图象关于点（0，1）对称，
即有（x₁，y₁）为交点，即有（-x₁，2-y₁）也为交点，
（x₂，y₂）为交点，即有（-x₂，2-y₂）也为交点，
…
则有$\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}+{y}_{i}）$=（x_i+y_i）=（x₁+y₁）+（x₂+y₂）+…+（x_n+y_n）
=$\frac{1}{2}$[（x₁+y₁）+（-x₁+2-y₁）+（x₂+y₂）+（-x₂+2-y₂）+…+（x_n+y_n）+（-x_n+2-y_n）]
=n．
故选：B．

点评 本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．