Question

20．已知函数f（x）=$\frac{ax^{2}+1}{bx+c}$（a，b，c∈N）是奇函数，f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并用定义法证明；
（3）若f（x）-k＞0，对任意的x∈[5，8）时恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）为奇函数，直接利用奇函数定义以及a，b，c∈N求解即可；
（2）直接利用函数单调性定义证明即可；
（3）f（x）-k=x+$\frac{1}{x}$-k＞0对任意的x∈[5，8）时恒成立即对任意的x∈[5，8）时f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞k恒成立；

解答 解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$+$\frac{a{x}^{2}+1}{-bx+c}$=0；
得-bx+c=-bx-c⇒c=0；
又f（1）=$\frac{1+a}{b}$=2，化为2b=a+1；
∵f（2）=$\frac{4a+1}{2b}$＜3，
∴$\frac{4a+1}{a+1}$＜3?（a+1）（a-2）＜0，计算得出-1＜a＜2
∵a∈N，∴a=0或1；
当a=0时，b=$\frac{1}{2}$，与b∈N矛盾，舍去；
当a=1时，b=1；
综上，a=b=1；
（2）f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂；
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{{x}_{1}{x}_{2}}$；
∵x₁-{x₂ x₂＜0，x₁x₂＞1；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
所以，函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．
（3）f（x）-k=x+$\frac{1}{x}$-k＞0对任意的x∈[5，8）时恒成立
即对任意的x∈[5，8）时f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞k恒成立；
令f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上单调递增，故f（x）在[5，8）上最小值为f（5）=$\frac{26}{5}$；
所以k的取值范围为：（$\frac{26}{5}$，+∞）

点评 本题主要考查了函数奇偶性、函数单调性定义证明以及函数恒成立问题，属中等题．