Question

10．已知圆C的方程：x²+y²-2x-4y+m=0
（1）求m的取值范围；
（2）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且|MN|=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）方程x²+y²-2x-4y+m=0，可化为（x-1）²+（y-2）²=5-m，利用方程表示圆，即可求m的取值范围；
（2）求出圆心C（1，2）到直线l：x+2y-4=0的距离，利用|MN|=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，求m的值．

解答 解：（1）方程x²+y²-2x-4y+m=0，可化为（x-1）²+（y-2）²=5-m，
∵此方程表示圆，
∴5-m＞0，即m＜5．
（2）圆的方程化为  （x-1）²+（y-2）²=5-m，圆心 C（1，2），半径 $r=\sqrt{5-m}$，
则圆心C（1，2）到直线l：x+2y-4=0的距离为 $d=\frac{{|{1+2×2-4}|}}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}$
由于$|{MN}|=\frac{4}{{\sqrt{5}}}$，则$\frac{1}{2}|{MN}|=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，有${r^2}={d^2}+{（\frac{1}{2}|{MN}|）^2}$，
∴$5-m={（\frac{1}{{\sqrt{5}}}）^2}+{（\frac{2}{{\sqrt{5}}}）^2}$，得m=4．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．