Question

1．已知直线l₁过点A（-1，0），且斜率为k，直线l₂过点B（1，0），且斜率为-2k，其中k≠0，又直线l₁与l₂交于点M．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若过点N（$\frac{1}{2}$，1）的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设M坐标为（x，y），表示出两直线方程，联立消去k即可确定出M的轨迹方程；
（2）设出C与D坐标，分别代入M的轨迹方程，整理由根据N为CD中点，求出直线l斜率，即可确定出直线l方程．

解答 解：（1）设M（x，y），
∵直线l₁与l₂交于点M，
∴联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{y=-\frac{2}{k}（x-1）}\end{array}\right.$（k≠0），
消去k得：$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-1}$=-2，
则动点M的轨迹方程为2x²+y²=2（x≠±1）；
（2）由（1）得M的轨迹方程为2x²+y²=2（x≠±1），
设点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则有2x₁²+y₁²=2①，2x₂²+y₂²=2②，
①-②得：2（x₁-x₂）（x₁+x₂）+（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-2×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
∵N（$\frac{1}{2}$，1）为CD的中点，
∴x₁+x₂=1，y₁+y₂=2，
∴直线l的斜率k=-1，
∴直线l的方程为y-1=-（x-$\frac{1}{2}$），即2x+2y-3=0．

点评 此题考查了轨迹方程，直线的点斜式方程，熟练掌握运算性质是解本题的关键．