Question

15．证明；当x＞1时，有ln²（x+1）＞lnx•ln（x+2）

Answer 1

分析 证明：（x+1）²＞x²+2x＞1，取对数，结合基本不等式，即可证明结论．

解答 证明：∵x＞1，
∴（x+1）²＞x²+2x＞1，
∴ln（x+1）²＞ln[x（x+2）]＞0，
∴2ln（x+1）＞lnx+ln（x+2），
∴ln（x+1）＞$\frac{1}{2}$[lnx+ln（x+2）]，
∵$\frac{1}{2}$[lnx+ln（x+2）]＞$\sqrt{lnx•ln（x+2）}$，
∴ln（x+1）＞$\sqrt{lnx•ln（x+2）}$，
∴当x＞1时，有ln²（x+1）＞lnx•ln（x+2）．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．