Question

在四面体ABCD中，AB=3，AC=AD=2，且∠DAC=∠BAC=∠BAD=60°，求证：平面BCD⊥平面ADC．

Answer 1

证明：取CD的中点E，连接BE
∵AC=AD，CE=ED，∠DAC=60
∴AE⊥CD，AC=AD=CD
∴CD=2，CE=ED=CD=1，AE²=AC²-CE²=4-1=3
BC²=BD²=AC²+AB²-2AC•BCcs∠BAC=4+9-2•2•3•cos60°=7，
△BCD是等腰三角形．
∴BE⊥CD，BE∩AE=E，∴CD⊥平面ABE，
且BE²=BC²-CE²=7-1=6
∴AE²+BE²=3+6=9=AB²
∴BE⊥AE，∴AE⊥面BCD
∴平面BCD⊥平面ADC．
分析：取CD的中点E，连接BE，通过计算证明BE⊥CD，AE⊥CD，推出AE⊥面BCD，推出平面BCD⊥平面ADC．
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查逻辑思维能力，是基础题．