Question

已知函数f（x）=x-

2

x

-3lnax，其中a≠0．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）假定函数f（x）在点P处的切线为l，如果l与函数f（x）的图象除P外再无其它公共点，则称l是f（x）的一条“单纯切线”，我们称P为“单纯切点”．设f（x）的“单纯切点”P为（x₀，f（x₀）），当a＞0时，求x₀的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论得出单调区间；
（2）由f′(x)=

(x-1)(x-2)

x2

得f′(x0)=

(x0-1)(x0-2)

x02

，过（x₀，f（x₀））的切线是l：y=f'（x₀）（x-x₀）+f（x₀）．构造g（x）=f（x）-L（x）=f（x）-[f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀）]，故g′(x)=f′(x)-f′(x0)=

(x-1)(x-2)

x2

-

(x0-1)(x0-2)

x02

=

(3x0-2)x2-3x02x+2x02

x2x02

．由 g（x₀）=0，依题意，x₀应是g（x）的唯一零点．故对x₀分类讨论得出结论．

解答： 解：（1）当a＞0时，f（x）的定义域是（0，+∞），由f′(x)=1+

2

x2

-

3

x

=

(x-1)(x-2)

x2

，…（1分）
令f'（x）＞0得x＞2或x＜1，f'（x）＜0得1＜x＜2，所以增区间是（0，1）、（2，+∞），减区间是（1，2）． 　　…（4分）
当a＜0时，则x＜0，f′(x)=1+

2

x2

-

3

x

=

(x-1)(x-2)

x2

＞0，所f（x）在（-∞，0）上为增函数．　　　　…（6分）
（2）由f′(x)=

(x-1)(x-2)

x2

得f′(x0)=

(x0-1)(x0-2)

x02

，过（x₀，f（x₀））的切线是l：y=f'（x₀）（x-x₀）+f（x₀）．　　…（7分）
构造g（x）=f（x）-L（x）=f（x）-[f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀）]，…（8分）
显然 g（x₀）=0，依题意，x₀应是g（x）的唯一零点．g′(x)=f′(x)-f′(x0)=

(x-1)(x-2)

x2

-

(x0-1)(x0-2)

x02

=

(3x0-2)x2-3x02x+2x02

x2x02

．
①如果x0=

2

3

，则g′(x)=

-3x+2

x2

，由g′(x)=0⇒x=

2

3

，易看出g（x）在(0，

2

3

]为减函数，在[

2

3

，+∞)上为增函数，故x=

2

3

是唯一零点．…（9分）
②如果0＜x0＜

2

3

，则有g′(x)=

(3x0-2)(x-x0)(x- 2x0 3x0-2 )

x2x02

，由g′（x）=0得x=x₀，
（x=

2x0

3x0-2

＜0舍去），g（x）在（0，x₀）为减函数，在（x₀，+∞）上为增函数，故x=x₀是唯一零点．　　　　　　　　…（10分）
③如果x0＞

2

3

，则由g′(x)=

(3x0-2)(x-x0)(x- 2x0 3x0-2 )

x2x02

=0得x=x0或x=

2x0

3x0-2

．
当

2

3

＜x0＜

4

3

时，x0＞

2x0

3x0-2

，g（x）在[

2x0

3x0-2

，x0]为减函数，有g(

2x0

3x0-2

)＞g(x0)=0，
而x→0时g（x）→-∞，g（x）在(-∞，

2x0

3x0-2

)有零点，不合要求； 
当x0＞

4

3

时，x0＜

2x0

3x0-2

，g（x）在[x0，

2x0

3x0-2

]为减函数，有g(

2x0

3x0-2

)＜g(x0)=0，
同理得g（x）在(

2x0

3x0-2

，+∞)有零点，不合要求；　　　                                      …（12分）
当x0=

4

3

时，x0=

2x0

3x0-2

，则g′(x)=

(3x0-2)(x-x0)2

x2x02

≥0，所以g（x）在（0，+∞）为增函数，x=x₀是唯一零点．
综上所述，x₀的取值范围是(0，

2

3

]∪{

4

3

}．　　　　　　                                    　…（13分）

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值以及函数的零点问题；
考查分类讨论思想，知识的转化与划归思想等．