某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x (单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,(其中3<x<6,为常数,)已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克。
(I)求的值;
(II)若该商品的成品为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
(I)(II)当x=4时,函数取得最大值,且最大值等于42。
解析试题分析:(I)因为x=5时,y=11,所以 (4分)
(II)由(I)可知,该商品每日的销售量
所以商场每日销售该商品所获得的利润
从而, (8分)
于是,当x变化时,的变化情况如下表:
由上表可得,x=4是函数在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点; (11分)
所以,当x=4时,函数取得最大值,且最大值等于42。 (12)分
考点:函数模型,利用导数研究函数的最值,均值定理的应用。
点评:中档题,函数应用问题,在高考题中常常出现,一般的,需要“审清题意,设出变量,构建函数模型,解决数学问题”。求最值时 ,可利用均值定理,有时也可利用导数。应用均值定理,注意“一正,二定,三相等”,缺一不可。本题利用导数“表解法”,清晰明了。
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已知函数f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0).
(1)求y=f(x)的定义域;
(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于x轴;
(3)当a,b满足什么条件时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.
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某人2002年底花100万元买了一套住房,其中首付30万元,70万元采用商业贷款.贷款的月利率为5‰,按复利计算,每月等额还贷一次,10年还清,并从贷款后的次月开始还贷.
(1)这个人每月应还贷多少元?
(2)为了抑制高房价,国家出台“国五条”,要求卖房时按照差额的20%缴税.如果这个人现在将住房150万元卖出,并且差额税由卖房人承担,问:卖房人将获利约多少元?(参考数据:(1+0.005)120≈1.8)
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江苏某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为平方米,且高度不低于米,设防洪堤横断面的腰长为米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为米.
(1)求关于的函数关系式,并指出其定义域;
(2)要使防洪提的横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长应在什么范围内?
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如图所示,校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器。已知喷水器的喷水区域是半径为5m的圆。问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置,才能使花坛的面积最大且能全部喷到水?
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统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米/小时)的函数解析式可以表示为:已知甲、乙两地相距100千米.
(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
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