Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足2S_n=a_n²+n，a_n＞0（n∈N*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想{a_n}的通项公式，并加以证明；
（Ⅲ）设x＞0，y＞0，且x+y=1，证明：

anx+1

+

any+1

≤

2(n+2)

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分别令n=1，2，3，列出方程组，能够求出求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）证法一：猜想：a_n=n，由2S_n=a_n²+n可知，当n≥2时，2S_n-1=a_n-1²+（n-1），所以a_n²=2a_n+a_n-1²-1再用数学归纳法进行证明；
证法二：猜想：a_n=n，直接用数学归纳法进行证明．
（Ⅲ）证法一：要证

nx+1

+

ny+1

≤

2(n+2)

，只要证n（x+y）+2+2

n2xy+n(x+y)+1

≤2（n+2），将x+y=1代入，得2

n2xy+n+1

≤n+2，即要证4xy≤1．由均值不等式知4xy≤1成立，所以原不等式成立．
证法二：由题设知

nx+1

•

n 2 +1

≤

nx+1+ n 2 +1

2

，

ny+1

•

n 2 +1

≤

ny+1+ n 2 +1

2

，所以（

nx+1

+

ny+1

）

n 2 +1

≤

n(x+y)+4+n

2

=n+2，由此可导出

nx+1

+

ny+1

≤

2(n+2)

．
证法三：先证

a

+

b

≤

2(a+b)

，然后令a=nx+1，b=ny+1，即得：

nx+1

+

ny+1

≤

2(nx+1+ny+1)

=

2(n+2)

．

解答：解：（Ⅰ）分别令n=1，2，3，得

2a1= a 2 1 +1 2(a1+a2)= a 2 2 +2 2(a1+a2+a3)= a 2 3 +3

∵a_n＞0，∴a₁=1，a₂=2，a₃=3．（3分）

（Ⅱ）证法一：猜想：a_n=n，（4分）
由2S_n=a_n²+n①
可知，当n≥2时，2S_n-1=a_n-1²+（n-1）②
①-②，得2a_n=a_n²-a_n-1²+1，即a_n²=2a_n+a_n-1²-1．（6分）
1）当n=2时，a₂²=2a₂+1²-1，∵a₂＞0，∴a₂=2；（7分）
2）假设当n=k（k≥2）时，a_k=k．那么当n=k+1时，
a_k+1²=2a_k+1+a_k²-1=2a_k+1+k²-1?[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0，
∵a_k+1＞0，k≥2，
∴a_k+1+（k-1）＞0，
∴a_k+1=k+1．这就是说，当n=k+1时也成立，
∴a_n=n（n≥2）．显然n=1时，也适合．
故对于n∈N*，均有a_n=n．（9分）
证法二：猜想：a_n=n，（4分）
1）当n=1时，a₁=1成立；（5分）
2）假设当n=k时，a_k=k．（6分）
那么当n=k+1时，2S_k+1=a_k+1²+k+1．∴2（a_k+1+S_k）=a_k+1²+k+1，
∴a_k+1²=2a_k+1+2S_k-（k+1）=2a_k+1+（k²+k）-（k+1）=2a_k+1+（k²-1）
（以下同证法一）（9分）

（Ⅲ）证法一：要证

nx+1

+

ny+1

≤

2(n+2)

，
只要证nx+1+2

(nx+1)(ny+1)

+ny+1≤2（n+2），（10分）
即n（x+y）+2+2

n2xy+n(x+y)+1

≤2（n+2），（11分）
将x+y=1代入，得2

n2xy+n+1

≤n+2，
即要证4（n²xy+n+1）≤（n+2）²，即4xy≤1．（12分）
∵x＞0，y＞0，且x+y=1，∴

xy

≤

x+y

2

=

1

2

，
即xy≤

1

4

，故4xy≤1成立，所以原不等式成立．（14分）
证法二：∵x＞0，y＞0，且x+y=1，∴

nx+1

•

n 2 +1

≤

nx+1+ n 2 +1

2

①
当且仅当x=

1

2

时取“=”号．（11分）
∴

ny+1

•

n 2 +1

≤

ny+1+ n 2 +1

2

②
当且仅当y=

1

2

时取“=”号．（12分）
①+②，得（

nx+1

+

ny+1

）

n 2 +1

≤

n(x+y)+4+n

2

=n+2，
当且仅当x=y=

1

2

时取“=”号．（13分）
∴

nx+1

+

ny+1

≤

2(n+2)

．（14分）
证法三：可先证

a

+

b

≤

2(a+b)

．（10分）
∵(

a

+

b

)2=a+b+2

ab

，(

2(a+b)

)2=2a+2b，a+b≥2

ab

，（11分）
∴2a+2b≥a+b+2

ab

，
∴

2(a+b)

≥

a

+

b

，当且仅当a=b时取等号．（12分）
令a=nx+1，b=ny+1，即得：

nx+1

+

ny+1

≤

2(nx+1+ny+1)

=

2(n+2)

，
当且仅当nx+1=ny+1即x=y=

1

2

时取等号．（14分）

点评：本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要注意各种不同解法的应用，平时做题时多尝试一题多解能够有效地提高解题能力．