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已知函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2+clnx,且g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为2y-1=0.
(1)求g(x)的解析式;
(2)设函数G(x)=若方程G(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.
(1)g(x)=x2-lnx(2)
(1)g′(x)=2bx+ 由条件,得∴b=,c=-1,
∴g(x)=x2-lnx.
(2)G(x)= 
当x>0时,G(x)=g(x)=x2-lnx,g′(x)=x-.
令g′(x)=0,得x=1,且当x∈(0,1),g′(x)<0,x∈(1,+∞),g′(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)上有极小值,即最小值为g(1)=.
当x≤0时,G(x)=f(x)=ax3-3ax,f′(x)=3ax2-3a=3a(x+1)(x-1).
令f′(x)=0,得x=-1.①若a=0,方程G(x)=a2不可能有四个解;
②若a<0时,当x∈(-∞,-1),f′(x)<0,当x∈(-1,0),f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,0]上有极小值,即最小值为f(-1)=2a.又f(0)=0,∴G(x)的图象如图①所示,从图象可以看出方程G(x)=a2不可能有四个解;
,①)  ,②)
③若a>0时,当x∈(-∞,-1),f′(x)>0,当x∈(-1,0),f′(x)<0,∴f(x)在(-∞,0]上有极大值,即最大值为f(-1)=2a.又f(0)=0,∴G(x)的图象如图②所示.从图象可以看出方程G(x)=a2若有四个解,必须<a2<2a,∴<a<2.综上所述,满足条件的实数a的取值范围是
练习册系列答案
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