Question

已知函数f(x)=(x-a)²(x-b)(a,b∈R,a<b).
(1)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)设x₁,x₂是f(x)的两个极值点,x₃是f(x)的一个零点,且x₃≠x₁,x₃≠x₂.证明:存在实数x₄,使得x₁,x₂,x₃,x₄按某种顺序排列后构成等差数列,并求x₄.

Answer 1

（1）y=x-2  （2），证明见解析

(1)解:当a=1,b=2时,f(x)=(x-1)²(x-2),
f′(x)= (x-1)(3x-5),
故f′(2)=1.
又f(2)=0,
所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2.
(2)证明:由题意得f′(x)=3(x-a)(x-),
由于a<b且a,b∈R,故a<,
所以f(x)的两个极值点为x=a,x=.
不妨设x₁=a,x₂=,
因为x₃≠x₁,x₃≠x₂,
且x₃是f(x)的零点,
故x₃=b.
又因为-a=2(b-),
x₄=(a+)=,
此时a,,,b依次成等差数列,
所以存在实数x₄满足题意,且x₄=.