Question

某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上)，公共设施边界为曲线f(x)＝1－ax²(a＞0)的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设P(t，f(t))．
 
(1)将△OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t)；
(2)若在t＝处，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值．

Answer 1

（1）S(t)＝（2）a＝，

(1)y′＝－2ax，∴切线斜率是－2at，
∴切线方程为y－(1－at²)＝－2at(x－t)．
令y＝0，得x＝，∴M，令x＝0，得y＝1＋at²，∴N(0，1＋at²)，
∴△OMN的面积S(t)＝.
(2)S′(t)＝，
由a＞0，t＞0，S′(t)＝0，得3at²－1＝0，即t＝.
当3at²－1＞0，即t＞时，S′(t)>0；
当3at²－1<0，即0<t<时，S′(t)<0.
∴当t＝时，S(t)有最小值．
已知在t＝处，S(t)取得最小值，故有＝，
∴a＝.故当a＝，t＝时，S(t)_min＝S＝＝.