【题目】某市组织高三全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A、B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：
B校样本数据统计表：
成绩（分） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
人数（个） | 0 | 0 | 0 | 9 | 12 | 21 | 9 | 6 | 3 | 0 |
（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较.
（2）从A校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和大于或等于15的概率.
【答案】（1）A校样本的平均成绩为
，A校样本的方差为
；B校样本的平均成绩为
，B校样本的方差为
；A校学生的计算机成绩比B校学生的成绩更稳定；（2）
【解析】
（1）分别求出两校样本数据的均值和方差
、
、
、
，由
，可知两校学生的计算机成绩均值相同，比较方差可知
，从而可知A校学生的成绩更稳定；
（2）计算可知A校成绩为7分的学生应抽取的人数为
人，成绩为8分的学生应抽取的人数为
人，成绩为9分的学生应抽取的人数为，进而可得到所有基本事件的总个数及满足条件的基本事件的个数，再结合古典概型的概率公式，可求出答案.
（1）从A校样本数据的条形图可知：
成绩为4分的学生有
人，成绩为5分的学生有
人，
成绩为6分的学生有
人，成绩为7分的学生有
人，
成绩为8分的学生有
人，成绩为9分的学生有人.
所以A校样本的平均成绩为
，
A校样本的方差为
，
从B校样本数据统计表可知：
B校样本的平均成绩为
，
B校样本的方差为
.
因为，所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为，所以A校学生的计算机成绩比B校学生的成绩更稳定.
（2）依题意，A校成绩为7分的学生应抽取的人数为：
人，设为
；
成绩为8分的学生应抽取的人数为：
，设为
；
成绩为9分的学生应抽取的人数为：，设为
.
所以所有基本事件有：
，共15个，
其中，满足条件的基本事件有：
，共9个，
所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，这2人成绩之和大于或等于15的概率为
.
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【题目】2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在二十世纪初提出的23个数学问题之一．可以这样描述：存在无穷多个素数
，使得
是素数，称素数对
为孪生素数．在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（ ）．
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图，四边形
是矩形，
，
，
，
分别为
，
上的一点，且
，
，将矩形卷成以
，
为母线的圆柱的半个侧面，且，
分别为圆柱的上、下底面的直径.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求四棱锥
的体积.
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【题目】某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示.
区间 |
|
|
|
|
|
人数 | 50 | 50 | a | 150 | b |
（1）上表是年龄的频数分布表，求正整数
的值；
（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？
（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率.
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【题目】设数列
对任意
都有
（其中
、
、
是常数） .
（Ⅰ）当
，
，
时，求
；
（Ⅱ）当
，
，
时，若
，
，求数列的通项公式；
（Ⅲ）若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当，，时，设
是数列的前
项和，
，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意，都有
，且
.若存在，求数列的首项
的所有取值；若不存在，说明理由.
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【题目】下列命题正确的个数为（ ）
①“
都有
”的否定是“
使得
”；
②“
”是“
”成立的充分条件；
③命题“若
，则方程
有实数根”的否命题；
④幂函数的图像可以出现在第四象限.
A.0B.1C.2D.3
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【题目】千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下
列联表：
夜晚天气 日落云里走 | 下雨 | 未下雨 |
出现 | 25 | 5 |
未出现 | 25 | 45 |
临界值表 | ||||
P（ | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
并计算得到
，下列小波对地区A天气判断不正确的是（ ）
A.夜晚下雨的概率约为
B.未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为
C.有
的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
D.出现“日落云里走”，有的把握认为夜晚会下雨
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