Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，若对，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减；（2）

【解析】

（1）首先求导得到，分别讨论和的单调性即可.

（2）首先求导得到，设，得到在上单调递增，.分别讨论和时在上的单调区间和最小值即可得到的取值范围.

（1），.

①当时， ，在单调递增；

②当时，令，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

综上，时，在上单调递增，

时，在上单调递增，在上单调递减.

（2），.

因为时，，，

此时易知，所以在上单调递增，.

所以当时，，在上单调递增，

所以，满足题意.

当时，令，

可知，在上存在唯一极值点，使得，

则当时，，单调递减；

时，，单调递增；

所以在时，，不满足题意.

综上，实数的取值范围为.