【题目】已知椭圆E:(
)的离心率为
,F是E的右焦点,过点F的直线交E于点
和点
(
).当直线
与x轴垂直时,
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线l:交x轴于点G,过点B作x轴的平行线交直线l于点C.求证:直线
过线段
的中点.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)通过离心率推出,结合
.转化求解
,
,求解椭圆
的方程.
(2)求出,
,得到线段
的中点为
.①当直线
与
轴垂直时,说明直线
过线段
的中点.②当直线
不与
轴垂直时,可设其方程为
,代入
,利用韦达定理设
,
,
,
,
,求出
的方程为
.推出直线系方程,说明直线
过线段
的中点.
(1)由,得
,所以
,
因为直线经过点F,且
,所以根据对称性,不妨设
.
当直线与x轴垂直时,
,
,所以
.
由,得
,所以
,
.
所以椭圆E的方程为.
(2)当直线与x轴垂直时,
,
,
,
这时直线的方程为
,即
.
令,得
,点
恰为线段
的中点.
因为,当直线
不与x轴垂直时,可设其方程为
,
代入,
整理得.
所以,
.
因为,
,
,
所以直线的方程为
.
因为,
,
所以
,
这说明直线过点
.
综上可知直线过线段
的中点.
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【题目】设数列对任意
都有
(其中
、
、
是常数) .
(Ⅰ)当,
,
时,求
;
(Ⅱ)当,
,
时,若
,
,求数列
的通项公式;
(Ⅲ)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当
,
,
时,设
是数列
的前
项和,
,试问:是否存在这样的“封闭数列”,使得对任意
,都有
,且
.若存在,求数列
的首项
的所有取值;若不存在,说明理由.
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【题目】下列命题正确的个数为( )
①“都有
”的否定是“
使得
”;
②“”是“
”成立的充分条件;
③命题“若,则方程
有实数根”的否命题;
④幂函数的图像可以出现在第四象限.
A.0B.1C.2D.3
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【题目】已知函数,
,
是
的导函数.
(1)若,求
的值;
(2)设.①若函数
在定义域上单调递增,求
的取值范围;②若函数
在定义域上不单调,试判定
的零点个数,并给出证明过程.
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【题目】千百年来,我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化,总结了丰富的“看云识天气”的经验,并将这些经验编成谚语,如“天上钩钩云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走,雨在半夜后”,观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气,得到如下列联表:
夜晚天气 日落云里走 | 下雨 | 未下雨 |
出现 | 25 | 5 |
未出现 | 25 | 45 |
临界值表 | ||||
P( | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
并计算得到,下列小波对地区A天气判断不正确的是( )
A.夜晚下雨的概率约为
B.未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为
C.有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
D.出现“日落云里走”,有的把握认为夜晚会下雨
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