Question

1．已知f（x）=x²+2（a-1）x+4．
（1）如果对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数a的范围；
（2）如果对x∈[-3，1]，f（x）＞0成立，求实数a的范围；
（3）如果对a∈[-3，1]，f（x）＞0成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，只需开口向上和判别式恒小于零建立关系式即可；
（2）对x∈[-3，1]，f（x）＞0恒成立，可运用参数分离，讨论x的范围，由基本不等式即可得到最值，进而得到所求范围；
（3）将a看作主元，运用一次函数的单调性，即可得到所求范围．

解答 解：（1）∵对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，
根据二次函数的图象和性质可得
△=4（a-1）²-16＜0⇒-1＜a＜3；
（2）∵对x∈[-3，1]，f（x）＞0恒成立，
则当x=0时，4＞0恒成立；
当0＜x≤1时，-2（a-1）＜x+$\frac{4}{x}$恒成立，
由x+$\frac{4}{x}$在（0，1]递减，当x=1取得最小值5，
则-2（a-1）＜5，解得a＞-$\frac{3}{2}$；
当-3≤x＜0时，-2（a-1）＞x+$\frac{4}{x}$恒成立，
由x+$\frac{4}{x}$≤-4，当且仅当x=-2取得最大值-4，
则-2（a-1）＞-4，解得a＜3．
综上可得a的范围是（-$\frac{3}{2}$，3）；
（3）对a∈[-3，1]，f（x）＞0成立，
可令g（a）=2ax+x²-2x+4，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（-3）＞0}\\{g（1）＞0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-8x+4＞0}\\{{x}^{2}+4＞0}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{x＞4+2\sqrt{3}或x＜4-2\sqrt{3}}\\{x∈R}\end{array}\right.$，
则x的范围是（-∞，4-2$\sqrt{3}$）∪（4+2$\sqrt{3}$，+∞）．

点评 本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数在闭区间上最值问题，注意运用参数分离和构造主元，属于中档题和易错题．